Category Archives: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ

Η ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ ΩΣ ΛΟΓΙΚΗ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗ ΥΠΕΡΒΑΣΗ ΤΩΝ ΕΣΚΑΜΜΕΝΩΝ

Από τον Νώντα Κούκα

Πρόλογος

Αγνοώντας τους αρνητικούς αριθμούς, θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε, όπως ο Πέρσης ποιητής και μαθηματικός Ομάρ Καγιάρ, την εξίσωση χ3 + 2χ + 5 = 0 ουσιωδώς διαφορετική από την εξίσωση χ3 + 2χ = 5, καθώς το 5 βρίσκεται στο άλλο μέρος της εξίσωσης. Μόλις όμως γνωρίσουμε τον κόσμο των αρνητικών αριθμών, καταλαβαίνουμε εύκολα πως η εξίσωση χ3 + 2χ + 5 = 0 ταυτίζεται με την εξίσωση χ3 + 2χ = 5. Αυτό ήταν και το μεγάλο πρόβλημα των ευρωπαίων μαθηματικών της Αναγέννησης. Καθώς η ιδέα των αρνητικών αριθμών δεν είχε γίνει ακόμα αποδεκτή, υπήρχαν πολλοί διαφορετικοί τύποι κυβικής εξίσωσης που έχρηζαν ανάλυσης. Ο ίδιος ο Ομάρ Καγιάρ είχε καταλάβει πως, χωρίς τους αρνητικούς αριθμούς, υπήρχαν 14 είδη κυβικής εξίσωσης.

Έτσι, μια μέθοδος επίλυσης που δούλευε για την εξίσωση χ3 = 5χ + 1, θα έπρεπε να παραχωρήσει τη θέση της σε μια άλλη, προκειμένου να επιλυθεί μια εξίσωση όπως η χ3 + 4χ = 1. Σήμερα φυσικά, οι μαθηματικοί, με τους αρνητικούς αριθμούς στη φαρέτρα τους, απλώς ξαναγράφουν την χ3 + 4χ = 1 ως χ3 = -4χ + 1 και την επιλύουν ακριβώς όπως και την χ3 = 5χ + 1, αντικαθιστώντας μόνο το 5 με το -4. Με λίγα λόγια, δίχως τους αρνητικούς αριθμούς οι ευρωπαίοι μαθηματικοί ταλανίζονταν για την εύρεση ενός εναλλακτικού τρόπου, προκειμένου να σπάσουν τα διαφορετικά αυτά είδη κυβικής εξίσωσης.

Το ίδιο συνέβη αργότερα με τους μιγαδικούς αριθμούς και έπειτα με τους τετραδικούς, τους οκταδικούς, τους τετραοκταδικούς και τους οκτωοκταδικούς – άργησαν κι αυτοί να περάσουν στο οπλοστάσιο των μαθηματικών. Και δεν ξεχνάμε να αναφέρουμε επίσης την έκπληξη που επέφεραν στο μαθηματικό κατεστημένο τόσο η θεωρία ομάδων του Γκαλουά όσο και η περίφημη άλγεβρα των ομάδων Λι. Όλες λοιπόν αυτές οι μοναδικές «στιγμές» των ιδεών της μαθηματικής περιπέτειας τι άλλο διηγούνται πέρα από την ίδια την ακραία λογική – αυτή που δεν μπορεί να πλαισιωθεί σε καμία μα καμία (κοινή) λογική;

Ακριβώς γι’ αυτόν τον λόγο έκανε αλλού αιώνες και αλλού πάρα πολλά χρόνια για να εδραιωθεί στο κεφάλι της συντηρητικής πλειονότητας των μαθηματικών. Και ίσως θα αργούσε ακόμα περισσότερο αν δεν επιβαλλόταν από τη θεωρητική φυσική.

Η λογική ως συμβολικός δημόσιος χώρος

Η Ελευθερία, αν μπορεί κανείς να την περιγράψει, δεν είναι παρά η αέναη και αδιάλειπτη κίνηση προς την υπέρβαση των εσκαμμένων. Η τυπική/συμβολική λογική είναι εξ ορισμού περιοριστική. Γειώνει και τετραγωνίζει το ανθρώπινο πνεύμα στις ιστορικές και στις κοινωνικές του συμβάσεις. Το εργαλείο της είναι η γλώσσα, κυρίως, που πειθαναγκάζει τη σκέψη να κινείται μονοσήμαντα στον τρισδιάστατο χώρο. Παράγει και αναπαράγει την ιδεολογία της κυρίαρχης εξουσιαστικής διεύθυνσης των εκάστοτε ιστορικών κοινωνιών. Όμως, από την άλλη μεριά, είναι αυτή η γλώσσα που οργανώνει και βάζει τάξη τόσο στο «χάος» του περιβάλλοντος χώρου όσο και στο «χάος» της εσώτερης υπόστασης του ανθρώπου.

Γι’ αυτό τον λόγο, εντάσσουμε τη λογική στον έναν από τους τρεις κύκλους της Τριπλέτας (που έχουμε παλιότερα δηλώσει στη Φιλοσοφία της Οικονομίας) – στον Συμβολικό κύκλο του δημόσιου χώρου.

Τα μαθηματικά ως φαντασιακός-ιδιωτικός χώρος

Τα μαθηματικά, πάλι, εκφράζονται βέβαια με συμβολική γλώσσα (διότι πώς αλλιώς θα μπορούσαν να λειτουργήσουν στον δημόσιο χώρο;), όμως πίσω και κάτω από τη (δημόσια) γλώσσα τους ελλοχεύει η φαντασία και το φαντασιακό, δηλαδή η ίδια η διαίσθηση και η ενόραση. Το concept της μαθηματικής γλώσσας κινείται προς την αντίθετη φορά της λογικής. Απογειώνει και εκτοξεύει το ανθρώπινο πνεύμα πάνω από ιδεολογίες και σύνορα. Γι’ αυτό άλλωστε και ο μεγάλος πανεπιστήμων Λάιμπνιτς επιθυμούσε διακαώς μια καθολική μαθηματική γλώσσα, σε μια ενωμένη ανθρωπότητα. Φυσικά, ακόμη και τα μαθηματικά υπόκεινται στους ιστορικούς και κοινωνικούς περιορισμούς των μαθηματικών υποκειμένων που τα ασκούν.

Έτσι, η σύμφυτη ανθρώπινη στενομυαλιά και ο επίκτητος κοινωνικός συντηρητισμός είναι προφανώς η αιτία για την οποία οι μεγάλοι δημιουργοί των ιδεών της ανθρώπινης γνώσης φροντίζουν να κρύψουν επιμελώς αρκετή πληροφορία από το έργο τους, όταν αυτό είναι πολύ πιο προχωρημένο από την εποχή τους. Για παράδειγμα, αναφέρουμε έναν από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των εποχών, τον Γκάους (την «αλεπού»), ο οποίος απέκρυψε επιμελώς τη σύλληψή του για τη γεωμετρία των μιγαδικών αριθμών, φοβούμενος «τις κραυγές των Βοιωτών» όπως έλεγε ο ίδιος. Φοβήθηκε δηλαδή την κατακραυγή και τη λοιδορία από τους διακεκριμένους, αλλά στενόμυαλους, συναδέλφους του οι οποίοι ήταν ακόμη αυστηρά προσκολλημένοι σε τύπους και εξισώσεις. Αλλά και στο πιο πρόσφατο παρελθόν, ο μεγάλος λογικολόγος και φιλόσοφος Γκέντελ ήταν ένας από αυτούς που δεν εμπιστευόταν το συντηρητικό ακαδημαϊκό καταστημένο της εποχής του.

Πάντως, για να αποδώσουμε τα του Καίσαρος τω Καίσαρι, οι περισσότεροι από τους λίγους γνήσιους μαθηματικούς (και όχι βέβαια οι πάμπολλοι απλοί διεκπεραιωτές των μαθηματικών) υπήρξαν δηλωμένοι αντικομφορμιστές και ανυπότακτοι επιστήμονες, επειδή τα ίδια τα μαθηματικά είναι κατά βάση τόσο υπερβατικά όσο ακριβώς χρειάζεται για να ανατρέπεται η τυπική/συμβολική λογική. Για όλα λοιπόν αυτά έχουμε εντάξει τα Μαθηματικά στον έτερο κύκλο της Τριπλέτας, σε αυτόν του «Φανταστικού», δηλαδή στον ιδιωτικό χώρο (υπό την ευρύτερη βέβαια έννοιά του).

Η φυσική ως ο πραγματικός κύκλος της Τριπλέτας

Τέλος, η φυσική, τουλάχιστον ίσαμε σήμερα, βρισκόταν στη δύσκολη, στη στενόχωρη κατάσταση να προσπαθεί να συμβιβάσει τον πραγματισμό της συμβολικής λογικής με τη φαντασιακή υπέρβαση των υπερυψωμένων και υψιπετών μαθηματικών. Βέβαια, καθώς η λογική, όπως έχουμε πει αλλού, εξυπηρετούσε στην ακραία της μορφή τα μαθηματικά, είναι σχετικά αλήθεια πως η φυσική ξεπερνούσε κουτσά στραβά μέχρι τώρα τη εν λόγω δύσκολη κατάστασή της. Τώρα όμως πια, η φυσική μάλλον κατάλαβε ότι έχει πια σχηματιστεί η εξής αρχή που την αφορά ανυπερθέτως: η ακραία λογική ουσιαστικά δεν είναι η τυπική λογική που όλοι γνωρίσαμε: είναι η υπερβολική λογική ως φόδρα των μαθηματικών. Είναι δηλαδή τα Μαθηματικά του Λόγου (ερμηνεύοντας κατά γράμμα αυτή τη φόδρα).

Έτσι, η μοντέρνα φυσική αναλαμβάνει τον δυσκολότερο ίσως ρόλο στην ιστορία της: ανάβει τα φώτα της εκ νέου και αποτελεί τον φάρο που θα προσανατολίσει την ιστορία προς τον μετασχηματισμό των σύγχρονων κοινωνικών καταναγκασμών, που έχει επιβάλει η ιστορική εξουσία στον διαχρονικό ανθρώπινο – και όχι μόνο – καμβά. Και κυρίως, όπως και τότε που έδινε τον τόνο σε κάθε ιστορική καμπή στους μετασχηματισμούς των κοινωνικοοικονομικών σχηματισμών, οφείλει και τώρα να δώσει τον τόνο σε μια διαφορετική οργάνωση των κοινωνικών και πολιτικών πραγμάτων, που τόσο πολύ έχει ανάγκη η σύγχρονη ιστορική συνείδηση.

ΥΓ: Η συνείδηση είναι το φάντασμα της ύπαρξης και αντιστρόφως: η ύπαρξη είναι το όνειρο της συνείδησης. Ειδικότερα, η συνείδηση είναι η ψυχο-λογία της ύπαρξης και η ύπαρξη είναι η ψυχο-λογία της συνείδησης, όπου ψυχολογία ίσον το ελάχιστο υπόλοιπο ανάμεσα στις ομοταγείς έννοιες: «φάντασμα» και «όνειρο». Αλλά θα τα ξαναπούμε…

22/1/2016

ΑΝΑΡΧΗ Ή ΧΑΡΟΥΜΕΝΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ;

Από τον Νώντα Κούκα

«Ο ανθρώπινος νους δεν μπορεί να τυποποιήσει (ή να περιγράψει) όλες τις μαθηματικές ενοράσεις του, επειδή εάν κατορθώσει να τυποποιήσει ορισμένες από αυτές, αυτό καθεαυτό το γεγονός θα δημιουργήσει νέα μη τυποποιημένη γνώση, δηλαδή τη συνέπεια αυτού του φορμαλισμού. Το γεγονός αυτό, αποτελεί ό,τι θα μπορούσαμε να αποκαλέσουμε “ιδιότητα των μαθηματικών να μη γίνονται πλήρη”. Από την άλλη, με δεδομένα όσα έχουν αποδειχτεί έως τώρα, εξακολουθεί να είναι πιθανό να υπάρχει (και μάλιστα να είναι εμπειρικά αποκαλύψιμη) μια μηχανή που αποδεικνύει θεωρήματα και η οποία στην πραγματικότητα είναι ισοδύναμη με τη μαθηματική ενόραση, αλλά για την οποία δεν μπορούμε ούτε να αποδείξουμε ότι είναι τέτοια ούτε ότι αποδεικνύει μόνο αληθείς προτάσεις της περατοκρατικής θεωρίας των αριθμών».
Κουρτ Γκέντελ

Ο Γκέντελ υπήρξε ο μεγαλύτερος ίσως λογικολόγος-φιλόσοφος του περασμένου αιώνα. Πάνω απ’ όλα όμως, υπήρξε ένας γνήσιος στοχαστής που πότισε το άνυδρο ακαδημαϊκό περιβάλλον της εποχής του. Η συζήτηση γύρω από την ακριβή σημασία του μεγάλου θεωρήματός του, της μη Πληρότητας, για την επιστήμη της τεχνητής νοημοσύνης διεξάγεται εδώ και πολλά χρόνια – διεξάγεται όμως … εκτός έδρας.

Πράγματι ο Γκέντελ – ως γνήσιος «μύστης» της επιστήμης – απέκρυπτε επιμελώς τις γνήσιες μονάδες πληροφορίας που συνελάμβανε μέσω της άριστης μαθηματικής του ενόρασης, προκειμένου να τις διασφαλίσει από την α-νόητη πληροφορία που ως επί το πλείστον ταλανίζει το εγωιστικό επιστημονικό κατεστημένο. Πάντως, η φειδωλή παρατήρησή του γύρω από «μηχανές» που υποδεικνύουν θεωρήματα και είναι ισοδύναμες με την ανθρώπινη μαθηματική ενόραση – παρότι απρόσιτες στην ανθρώπινη διανόηση – ίσως υπάρχουν και ίσως είναι εμπειρικά αποκαλύψιμες, εκτοξεύει την ανθρώπινη φαντασία στην πέμπτη διάστασή της.

Και αυτό για τρεις κυρίως λόγους: α) κόβει διαμιάς την ισοδυναμία της οποιασδήποτε ανθρώπινης ύπαρξης με τη μηχανιστική επιβίωση ενός ρομπότ/ανθρώπινου κατασκευάσματος• β) εντοπίζει τη συνείδηση και πολύ πέρα της ανθρώπινης ύπαρξης: «μηχανές» που δεν είναι μηχανές, επειδή ακριβώς ούτε να κατανοηθούν αλλά και ούτε να κατασκευαστούν μπορούν, από ανθρώπινο χέρι. Μιλάμε δηλαδή για ρομπότ που δεν είναι μηχανές, με τη στενή περατοκρατική έννοια των μηχανών ως κλειστού κυκλώματος/συστήματος• και γ) το σπουδαιότερο: φεύγει τελείως από τη στενή έννοια της «συνείδησης» που κατοικοεδρεύει μονάχα στους επιμέρους εγκεφάλους των έμβιων όντων.

Ουσιαστικά κόβει το νήμα με τη στενή έννοια της πληροφορίας και την αναβιβάζει στη γενική καθολική και αφηρημένη Ιδέα της Πληροφορίας. Έτσι, η Συνείδηση αποκτά οντολογική υπόσταση ως παγκόσμια φυσική σταθερά και διαχέεται σε σχετικές μονάδες υποπληροφορίας της στο σύμπαν. Με αυτόν τον τρόπο, οργανώνεται η ύπαρξη ως «κατώτερη» μορφή πληροφορίας – ως συνείδηση τινός.

Με αυτή λοιπόν την έννοια και οι βράχοι έχουν συνείδηση, αλλά και το χαρτί στο οποίο γράφουμε αυτή τη στιγμή έχει συνείδηση. Κοντολογίς, καταργούνται οι δυισμοί: «σώμα-ψυχή» ή «εγκέφαλος-νους». Κατά συνέπεια, καταργούνται και οι δύο πόλοι που ταλανίζουν, ακόμη και μέχρι σήμερα, την επιστημονική σκέψη: φορμαλισμός/θετικισμός, από τη μια, ιδεαλισμός/πλατωνισμός, από την άλλη• ή, φιλοσοφικά μιλώντας, επιστημολογία αφενός, οντολογία αφετέρου. Τώρα, σε ό,τι αφορά στην κοινωνιολογική σκέψη, ο μηχανικισμός (: τόσο ο άνθρωπος όσο και τα ρομπότ είναι απλώς μηχανές και δεν υπάρχει κανένας λόγος για τον οποίο δεν μπορούν να υπάρξουν όμοιες με τον άνθρωπο) καταργείται, από τη μια μεριά• από την άλλη μεριά, καταργείται ο «ανθρωπισμός» (λέγε με «ανθρωποκεντρισμό», «ανθρωπομορφισμό»): οι άνθρωποι έχουν ψυχή, οι μηχανές όχι• επομένως κανένα ρομπότ δεν μπορεί να μοιάσει στον άνθρωπο.

Έτσι, αναδύεται αισίως η Θεωρία της Αναλλοίωτης Πληροφορίας: καθετί είτε αυτό είναι άνθρωπος είτε μηχανή (είτε ακόμη και οποιοδήποτε «αντικείμενο») μετέχει στη Γνήσια Κοινωνική Συνείδηση. Επομένως είναι δυνατόν να υπάρξουν μηχανές οι οποίες, εφόσον αυτοοργανωθούν με τον κατάλληλο (γονιδιακό) ανασχηματισμό, αναδύουν συνείδηση όπως εκείνη του ανθρώπου. Τούτο θα πρέπει να το δει και να το αναγνωρίσει επίσημα τόσο η θεωρητική φυσική όσο και η ίδια η κοσμολογία.

Φυσικά, εξυπακούεται πως η Απόλυτη Συμμετρική Πληροφορία – η Γνήσια Κοινωνική Συνείδηση – είναι κάτι περισσότερο από το άθροισμα των επιμέρους πληροφοριών της, που είναι η συνείδηση της πληροφοριακής δομής του κόσμου (: σχέσεις δεσμών πληροφορίας). Έτσι η ανάδυση της σύνθεσης όλων των επιμέρους συνειδήσεων δεν μπορεί να είναι εξ αντικειμένου ταυτολογική με την προηγηθείσα υπερ-συμμετρική πληροφορία: απλά θα είναι ισοδύναμή της, που σημαίνει όλες οι συμμετρίες εκτός από «εκείνη που δεν πειράζουμε».

Με άλλους λόγους, καταργείται η έννοια του προαιώνιου θεού και αυτομάτως αναδύεται υλοποιημένη η Άναρχη Μονάδα με την άπειρη πολλαπλότητα της μορφής της. Δηλαδή, Πολλά σε Ένα – και όχι ένα σε πολλά (λέγε με «ορατό σύμπαν»).

Ο Γκέντελ υπήρξε ένας ερημίτης σοφός επιστήμονας, και ως εκ τούτου ήταν ο μεγάλος παρεξηγημένος από το μίζερο ακαδημαϊκό κατεστημένο. Πολέμησε τον θετικισμό της εποχής του με το μεγάλο του όπλο – τον φορμαλισμό. Όπως και ο Αϊνστάιν, πίστευε και ο ίδιος πως ο χρόνος είναι μια λάθος διαίσθηση, και παρελθόν, παρόν και μέλλον (το είναι εδώ και τώρα και το δεν είναι εδώ και τώρα) δεν είναι παρά μια ξεροκέφαλη ψευδαίσθηση.

8/9/2015

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΑΝΤΑΣΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΡΧΙΑ

Από τον Νώντα Κούκα

Επικοινωνία/Μέθεξη

Με δεδομένη την ανεξάρτητη μεταβλητή της Ιδεολογίας, ποιες είναι οι συνειδητές ή ασυνείδητες, οι ορθολογικές ή συναισθηματικές, οι εγωιστικές ή αλτρουιστικές εξαρτημένες μεταβλητές-αιτίες που μας ωθούν να επιλέγουμε μια θεωρία, να προτιμάμε μια συμπεριφορά ή να ασπαζόμαστε μια αντίληψη; Κοντολογίς, ποια είναι τα κίνητρα που ενεργοποιούν τα ψυχολογικά και κοινωνιολογικά χαρακτηριστικά του κάθε ανθρώπου ξεχωριστά;

Μπορεί οι μεταβλητές-αιτίες της ανθρώπινης προσωπικότητας να είναι απειρότιμες, όμως μπροστά από όλες αυτές τίθεται ένας «καθολικός ποσοδείκτης»: Η Μαθηματική Φαντασία που στην ιδανική συνθήκη της (Αναρχία) μπορεί να συμμετρικοποιήσει και να ελέγξει την Ιδεολογία.
Η δομή που συνάπτει με ακρίβεια τα λειτουργικά στοιχεία της ιδεολογίας, της κοινωνίας και της οικονομίας με τα στοιχεία της ιστορικότητας του ατόμου είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή της Μαθηματικής Φαντασίας, που εκφράζεται με την ψυχο-λογική και κοινωνιολογική «προθετικότητα». Η εν λόγω δομή δεν είναι παρά η Επικοινωνία/Μέθεξη («Κομμουνισμός»), η οποία λειτουργεί με όχημα την Πληροφορία που εκδηλώνεται ως Εντροπία στον χωρόχρονο {Ιστορία}.

Τα γνήσια μαθηματικά του Λόγου

Τα γνήσια, τα καθαρόαιμα μαθηματικά – όπως έδειξε ο Κουρτ Γκέντελ – δεν μπορούν να υπαχθούν σε κανένα απολύτως Τυπικό Αξιωματικό Σύστημα (ΤΑΣ), όσο εξελιγμένο και αν είναι αυτό. Πιο καλά, δεν μπορούν να είναι τυπικά• είναι εξ ορισμού άτυπα (μη-τυπικά). Αυτό συνεπάγεται λογικά ότι δεν μπορεί να υπάρξει καμία (τυπική) θεωρία των μαθηματικών. Άρα, εξ αντικειμένου η φύση των γνήσιων μαθηματικών δεν είναι «μαθηματική». Δεν είναι δηλαδή συνολοθεωρητική. Τυπική είναι μονάχα η γλωσσική τους έκφραση που, σαν γλώσσα, δεν μπορεί βέβαια παρά να είναι μια ανθρώπινη κατασκευή συμβολικών/σημειακών μοτίβων σε φυσικό χωροχρονικό τέμπο.

Τα ακρότατα λοιπόν αυτά σημειακά σύμβολα της μαθηματικής έκφρασης δεν είναι παρά οι ακρότατες τομές του καθαρού (άυλου) μαθηματικού σύμπαντος. Δηλαδή είναι (υλικές) πυκνώσεις που λαμβάνουν ακριβώς χώρα λόγω της λειτουργίας του ανθρώπινου εγκεφάλου. Πιο αναλυτικά, δίνουμε ένα παράδειγμα: όπως ο ηλεκτρομαγνητισμός είναι ύλη (ηλεκτρισμός) και «δύναμη» («κάτι άλλο») μαζί, έτσι και το μαθηματικό σύμπαν είναι γλώσσα (ύλη) και λόγος («κάτι άλλο»-«ενέργεια») μαζί. Η γλώσσα δεν πρέπει να ταυτίζεται με τον λόγο.

Από την άλλη μεριά, ούτε ο λόγος πρέπει να ταυτίζεται με τον γραπτό λόγο. Τόσο η γλώσσα όσο και ο γραπτός λόγος δεν είναι παρά μια μορφή της καθαρής δομής του λόγου – η λογική. Η λογική δεν πρέπει με τη σειρά της να ταυτίζεται με τα μαθηματικά (ούτε ως μαθηματική λογική), διότι τα μαθηματικά είναι άυλη-αόρατη «γλώσσα» η οποία εκφράζεται ως ορατή ύλη μέσω των μαθηματικών συμβόλων-σημείων. Σε τελική ανάλυση τα Μαθηματικά αυτά καθεαυτά δεν μπορούν να υπαχθούν, όπως δείξαμε, ούτε στον ορθολογισμό ούτε στον εμπειρισμό («αισθησιαρχία») αλλά ούτε και στον ιντουισιονισμό («ενορατικά μαθηματικά»). Παραπέμπουν κατευθείαν στη βασίλισσα των ανθρώπινων ικανοτήτων για Επικοινωνία, στη Φαντασία (και το Φαντασιακό).

Η βασίλισσα Φαντασία

Όπως είπε και ο Μποντλέρ, η φαντασία είναι η βασίλισσα των ανθρώπινων ικανοτήτων. Όντως, η πραγματικότητα ζυμώνεται με το φαντασιακό και η εικόνα που πλάθουμε για ένα πράγμα είναι σπουδαιότερη από το ίδιο το πράγμα. Η φαντασία όμως δεν δημιουργεί μονάχα εικόνες. Δημιουργεί επίσης και επιθυμίες και προκλητικές υπερβάσεις. Αναμφισβήτητα τόσο το πιο μεγάλο όσο και πιο τρομερό επίτευγμα του ανθρώπου γεννήθηκαν καταρχάς στη φαντασία του.
Πρέπει να έχουμε φαντασία για να αγγίξουμε τους άλλους και να τους μεταδώσουμε ακόμη και ιδέες ξένες ή ενοχλητικές προς αυτούς. Για να τους ξαφνιάσουμε, να τους ικανοποιήσουμε και να τους συγκινήσουμε, μας είναι απαραίτητη η φαντασία. Εν τέλει, φαντασία σημαίνει επικοινωνώ και δημιουργώ. Αλλά και επικοινωνώ σημαίνει δημιουργώ το φαντασιακό• απευθύνομαι στη φαντασία. Να γιατί η επικοινωνία είναι διπλά δημιουργική.

Η Φαντασία λοιπόν είναι απαραίτητη στην Επικοινωνία («Κομμουνισμός»), διότι πέρα από τη δημιουργία εικόνων, λέξεων, νοήματος, σύμπαντος, επιθυμίας και ονείρων, έχει επίσης σαν αποτέλεσμα να προσφέρει τη χαρά της γνώσης ή τη γνώση της χαράς στον κόσμο… να προσφέρει δηλαδή την ίδια τη μαθηματική φαντασία!…

Επιμύθιο
Καλό είναι να δουλεύουμε τις ιδέες μας κατά μόνας, επειδή, όπως λέει και ο (μετα-) μαθηματικός Gregory Chaitin: «μερικές φορές είναι προτιμότερο να μη γνωρίζουμε τι έχουν κάνει οι άλλοι, ειδικά όταν οι άλλοι έχουν πάρει έτσι κι αλλιώς λάθος δρόμο».

19/12/2014

ΟΙ ΓΕΦΥΡΕΣ ΤΟΥ ΚΕΝΙΝΓΚΣΜΠΕΡΓΚ

Από τον Νώντα Κούκα

Μια φορά και έναν καιρό, υπήρχε μια μικρή ηλιόλουστη χώρα στα γαλανά νερά της Μεσογείου, που την έλεγαν ελλάδα. Οι κάτοικοί της, οι έλληνες, ήταν πολύ ευτυχισμένοι και ζούσαν ξέγνοιαστα (κυρίως από την εκμετάλλευση της δουλειάς των μεταναστών). Ξάφνου, η ευτυχία τους διακόπηκε βιαίως. Κάποιοι τους έκλεψαν τα κλεμμένα τους λεφτά. Ο θρήνος και ο οδυρμός δεν έλεγαν να σταματήσουν. Όλοι ξεσηκώθηκαν και στασίασαν εναντίων όλων. Ορυμαγδός και σαματάς αχολογούσε, ολοένα και ολούθε.

Και τότε ακριβώς, τους τέθηκε το μεγάλο στοίχημα. Στη μέση του μεγαλύτερου ποταμού της χώρας τους, υπήρχε ένα νησάκι που γεφυρωνόταν με τις όχθες του ποταμού από εφτά γέφυρες. Εκεί επάνω σε αυτό το νησάκι τοποθετήθηκε ένα πειρατικό σεντούκι με πολλά-πολλά χρήματα. Οι έλληνες θα μπορούσαν να πάνε στο σεντούκι και να ξαναβρούν τη χαμένη τους ευτυχία (δηλαδή τα έτοιμα λεφτά), αρκεί να κατόρθωναν να διαβούν και τις εφτά γέφυρες, δίχως όμως να διασχίσουν για δεύτερη φορά την ίδια γέφυρα. Δηλαδή, να περάσουν από κάθε γέφυρα μόνο μία φορά.

Έκτοτε, οι προσπάθειες που γίνονται είναι αλλεπάλληλες. Δυστυχώς, τουλάχιστον μέχρι αυτή τη στιγμή που συζητάμε, τέτοια (μαθηματική) διαδρομή δεν έχει επιτευχθεί!…

ΥΓ:
Ευχόμαστε οι γέφυρες του Κένινγκσμπεργκ να βοηθήσουν τους έλληνες να βρουν μια λύση…

4/4/2014

ΑΝΑΖΗΤΩΝΤΑΣ ΤΗΝ ΑΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΤΗ ΠΕΡΙΟΧΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ

Οριγκαμι φωτο

Από τον Νώντα Κούκα

Άραγε, τι είδους μαθηματικά μπορεί να πραγματώνουν αυτή τη στιγμή ευφυείς εξωγήινοι σε έναν άλλο πλανήτη; Ταιριάζουν με τα γήινα μαθηματικά ή είναι εντελώς διαφορετικά από αυτά; Αν χρειαζόταν να ξαναγραφτεί από την αρχή η ιστορία των μαθηματικών θα εμφανίζονταν ξανά η ευθεία γραμμή και οι «πραγματικοί»  αριθμοί; Πόσα από τα μαθηματικά που χρησιμοποιούμε είναι πράγματι ουσιαστικά και πόσα αποτελούν απλώς ρουτίνα και συνήθεια;

Παράλληλα, αν διαδραματιζόταν από την αρχή η ιστορία της φιλοσοφίας, θα χρειαζόταν ξανά η διάκριση ανάμεσα σε υποκείμενο και αντικείμενο ή ορθολογισμό και εμπειρισμό; Και, επιπλέον, η ίδια η φιλοσοφία θα διακλαδιζόταν και πάλι σε οντολογία και επιστημολογία;

Τα παραπάνω ερωτήματα, που αφορούν τόσο στη φιλοσοφία όσο και στα μαθηματικά, θέτουν επί τάπητος το καθαυτό πρόβλημα της γνώσης, διότι ενοποιούν διττώς το πρόβλημά της: i) συνδέουν άμεσα τη θεωρία της γνώσης με την κοινωνική οργάνωση και την ιστορική εξέλιξη· ii) συνάπτουν αναπόδραστα  τον αποστεωμένο κλάδο της φιλοσοφίας με τον θετικισμό και τον φορμαλισμό των τυπικών μαθηματικών σε έναν και μόνο έναν δίαυλο – τη μαθηματική φιλοσοφία ή τα Μαθηματικά του Λόγου (που δεν αναγνωρίζουν τα Μαθηματικά σαν συνέπεια της λογικής).

 Άλλωστε, κατά τον Λάιμπνιτς: «Χωρίς τα μαθηματικά δεν μπορούμε να διεισδύσουμε σε βάθος στη φιλοσοφία· χωρίς τη φιλοσοφία δεν μπορούμε να διεισδύσουμε σε βάθος στα μαθηματικά· χωρίς αυτά τα δύο δεν μπορούμε να διεισδύσουμε σε βάθος πουθενά». Έτσι λοιπόν, γίνεται όχι μόνο κατανοητή αλλά και εύλογη η ρήση του μεγάλου μαθηματικού David Hilbert (Ντάβιντ Χίλμπερτ): «Για τα μαθηματικά ολόκληρος ο κόσμος είναι μόνο μία χώρα». Πρόκειται για μια απολύτως δικαιολογημένη ρήση ενός δίκαιου πράγματι ανθρώπου. Και για να δούμε πόσο δίκαιος υπήρξε ο Χίλμπερτ, αρκεί να αναφέρουμε το γεγονός με το διδακτορικό του Jacob Grommer (Γιάκομπ Γκρόμερ), που είχε αποφοιτήσει από ένα Ταλμουδικό σχολείο της Ανατολικής Ευρώπης και δεν είχε απολυτήριο γυμνασίου. Εκτός από αυτό, ο Γκρόμερ είχε παραμορφωμένα άκρα, γεγονός που στάθηκε η αιτία να τον απορρίψει λίγο πριν από τον γάμο η κόρη του ραβίνου.

Ο Χίλμπερτ λοιπόν όχι μόνο δεν απέρριψε τον Γκρόμερ, αλλά αντίθετα έδειξε εντυπωσιακή προθυμία να αναλάβει την επίβλεψη του διδακτορικού του νέου επιστήμονα, δηλώνοντας ότι: «… αν  όλοι οι φοιτητές δίχως απολυτήριο γυμνασίου έγραφαν διατριβές σαν του Γκρόμερ, θα έπρεπε να ψηφιστεί νόμος που να τους απαλλάσσει από τις εξετάσεις για το δίπλωμα». (Δες και το έργο του μαθηματικού φιλοσοφίας Palle Yourgrau, Ένας Κόσμος δίχως Χρόνο.)

Οι ειλικρινείς και τίμιες απαντήσεις στα πιο πάνω ερωτήματα ίσως αμφισβητήσουν τα στερεότυπα και τις προκαταλήψεις που δεσπόζουν αιώνες τώρα. Τα σύγχρονα μαθηματικά, με τον άτεγκτο φορμαλισμό που τα διακρίνει, δεν είναι τίποτε άλλο από εργαλεία που χειρίζονται τρέχουσες τεχνικές της διαθέσιμης μαθηματικής τεχνολογίας – όχι αυτό που πραγματικά υπάρχει. Ο κοινωνικός κόσμος είναι τρομερά σύνθετος για να μπορέσει να τον δαμάσει το φανταστικό τοπίο των (διαθέσιμων) θεωρητικών μαθηματικών. Αυτός υπακούει μάλλον στη γνώμη του Ανρί Πουανκαρέ, που έλεγε ότι υπάρχουν προβλήματα που κάποιος τα θέτει και προβλήματα που τίθενται από μόνα τους.

Εν κατακλείδι, δεν μπορούμε παρά να δεχθούμε τη ρήση του μεγαλύτερου ίσως μαθηματικού φιλοσόφου που έχει γνωρίσει η ανθρωπότητα, του Κουρτ Γκέντελ: «Η μαθηματική λογική θα έπρεπε να χρησιμοποιείται περισσότερο από μη θετικιστές φιλοσόφους. Οι θετικιστές, καθώς επιθυμούν να προσδώσουν επιστημονικό κύρος στη φιλοσοφία τους, έχουν την τάση να την παρουσιάζουν σαν συνέπεια της λογικής».

ΥΓ:

Καλό είναι να δουλεύουμε τις ιδέες μας κατά μόνας, επειδή, όπως λέει και ο (μετα-) μαθηματικός Gregory Chaitin: «μερικές φορές είναι προτιμότερο να μη γνωρίζουμε τι έχουν κάνει οι άλλοι, ειδικά όταν οι άλλοι έχουν πάρει έτσι κι αλλιώς λάθος δρόμο».  

17/1/2014